[轉]統計學習那些事

SVM的基本原理普遍表述為，SVM通過非線性變換把原空間映射到高維空間，然後在這個高維空間構造線性分類器，因為在高維空間資料點更容易分開。 甚至有部分學者認為SVM可以克服維數災難(curse of dimensionality)。如果這樣理解SVM的基本原理，我覺得還沒有看到問題的本質。因為這個看法不能解釋下面的事實：SVM在高維空間裡構建 分類器後，為什麼這個分類器不會對原空間的資料集Overfitting呢？要理解SVM的成功，我覺得可以考慮以下幾個方面：第一，SVM求解最優分類 器的時候，使用了L2-norm regularization，這個是控制Overfitting的關鍵。第二，SVM不需要顯式地構建非線性映射，而是通過Kernel trick完成，這樣大大提高運算效率。第三，SVM的優化問題屬於一個二次規劃（Quadratic programming），優化專家們為SVM這個特殊的優化問題設計了很多巧妙的解法，比如SMO（Sequential minimal optimization）解法。第四，Vapnika的統計學習理論為SVM提供了很好的理論背景（這點不能用來解釋為什麼SVM這麼popular， 因為由理論匯出的bound太loose）。於是SVM成功了，火得一塌糊塗！
再說Boosted Trees。它基本的想法是通過對弱分類器的組合來構造一個強分類器。所謂“弱”就是比隨機猜要好一點點；“強”就是強啦。這個想法可以追溯到由Leslie Valiant教 授（2010年圖靈獎得主）在80年代提出的probably approximately correct learning (PAC learning) 理論。不過很長一段時間都沒有一個切實可行的辦法來實現這個理想。細節決定成敗，再好的理論也需要有效的演算法來執行。終於功夫不負有 心人， Schapire在1996年提出一個有效的演算法真正實現了這個夙願，它的名字叫AdaBoost。AdaBoost把多個不同的決策樹用一種非隨機的方 式組合起來，表現出驚人的性能！第一，把決策樹的準確率大大提高，可以與SVM媲美。第二，速度快，且基本不用調參數。第三，幾乎不 Overfitting。我估計當時Breiman和Friedman肯定高興壞了，因為眼看著他們提出的CART正在被SVM比下去的時 候，AdaBoost讓決策樹起死回生！Breiman情不自禁地在他的論文裡讚揚AdaBoost是最好的現貨方法（off-the-shelf，即 “拿下了就可以用”的意思）。其實在90年代末的時候，大家對AdaBoost為什麼有如此神奇的性能迷惑不解。1999年，Friedman的一篇技術 報告“Additive logistic regression: a statistical view of boosting”解釋了大部分的疑惑（沒有解釋AdaBoost為什麼不容易Overfitting，這個問題好像至今還沒有定論），即搞清楚了 AdaBoost在優化什麼指標以及如何優化的。基於此，Friedman提出了他的GBM（Gradient Boosting Machine，也叫MART或者TreeNet）。幾乎在同時，Breiman另闢蹊徑，結合他的Bagging (Bootstrap aggregating) 提出了Random Forest （今天微軟的Kinect裡面就採用了Random Forest，相關論文Real-time Human Pose Recognition in Parts from Single Depth Images是CVPR2011的best paper）。
有一個關於Gradient Boosting細節不得不提。Friedman在做實驗的時候發現，把一棵新生成的決策樹，記為f_m，加到當前模型之前，在這棵決策樹前乘以一個小的 數，即v×f_m（比如v=0.01），再加入到當前模型中，往往大大提高模型的準確度。他把這個叫做“Shrinkage”。接下 來，Hastie，Tibshirani和Friedman進一步發現（我發現大師們都是親自動手寫程式做實驗的），如果把具有Shrinkage的 Gradient Boosting應用到線性回歸中時，得到的Solution Path與Lasso的Solution Path驚人地相似(如圖所示)！他們把這一結果寫在了ESL的第一版裡，並推測這二者存在著某種緊密的聯繫，但精確的數學關係他們當時也不清楚。 Tibshirani說他們還請教了斯坦福的優化大師（我估計是Stephen Boyd），但還是沒有找到答案。



後來Tibshirani找到自己的恩師Efron。Tibshirani在“The Science of Bradley Efron”這本書的序言裡寫道，“He sat down and pretty much single-handedly solved the problem. Along the way, he developed a new algorithm, ‘least angle regression,’ which is interesting in its own right, and sheds great statistical insight on the Lasso.”我就不逐字逐句翻譯了，大意是：Efron獨自擺平了這個問題，與此同時發明了“Least angle regression (LAR)”。Efron結論是Lasso和Boosting的確有很緊密的數學聯繫，它們都可以通過修改LAR得到。更令人驚歎的是LAR具有非常明確 的幾何意義。於是，Tibshirani在序言中還有一句，“In this work, Brad shows his great mathematical power–not the twentieth century, abstract kind of math, but the old-fashioned kind: geometric insight and analysis.”讀Prof Efron的文章，可以感受到古典幾何學與現代統計學的結合之美（推薦大家讀讀Efron教授2010年的一本新書Large-Scale Inference，希望以後有機會再寫寫這方面的體會）！總之，Efron的這篇文章是現代統計學的里程碑，它結束了一個時代，開啟了另一個時代。
這裡，想補充說明一下Lasso的身世，它的全稱是The Least Absolute Shrinkage and Selection Operator，讀音不是[‘læso]而是[læ’su:]，有中文翻譯為“套索”，個人覺得這個翻譯不好，太遠離它本來的含義，不如就用 Lasso。Tibshrani自己說他的Lasso是受到Breiman的Non-Negative Garrote（NNG）的啟發。 Lasso把NNG的兩步合併為一步，即L1-norm regularization。Lasso的巨大優勢在於它所構造的模型是Sparse的，因為它會自動地選擇很少一部分變數構造模型。現在，Lasso 已經家喻戶曉了，但是Lasso出生後的頭兩年卻很少有人問津。後來Tibshirani自己回憶時說，可能是由下面幾個原因造成的：1. 速度問題：當時電腦求解Lasso的速度太慢；2. 理解問題：大家對Lasso模型的性質理解不夠（直到Efron的LAR出來後大家才搞明白）；3. 需求問題：當時還沒有遇到太多高維資料分析的問題，對Sparsity的需求似乎不足。Lasso的遭遇似乎在闡釋我們已經熟知的一些道理： 1.千里馬常有，而伯樂不常有（沒有Efron的LAR，Lasso可能很難有這麼大的影響力）。2.時勢造英雄（高維資料分析的問題越來越多，比如 Bioinformatics領域）。3.金子總是會閃光的。
LAR把Lasso （L1-norm regularization）和Boosting真正的聯繫起來，如同打通了任督二脈（數學細節可以參考本人的一個小結[1]， 當然最好還是親自拜讀Efron的原著）。LAR結束了一個晦澀的時代：在LAR之前，有關Sparsity的模型幾乎都是一個黑箱，它們的數學性質（更 不要談古典的幾何性質了）幾乎都是缺失。LAR開啟了一個光明的時代：有關Sparsity的好文章如雨後春筍般地湧現，比如Candes和Tao的 Dantzig Selector。伯克利大學的Bin Yu教授稱“Lasso, Boosting and Dantzig are three cousins”。近年來興起的Compressed sensing（Candes & Tao, Donoho）也與LAR一脈相承，只是更加強調L1-norm regularization其他方面的數學性質，比如Exact Recovery。我覺得這是一個問題的多個方面，Lasso關注的是構建模型的準確性，Compressed sensing關注的是變數選擇的準確性。由此引起的關於Sparsity的研究，猶如黃河氾濫，一發不可收拾。比如Low-rank 逼近是把L1-norm從向量到矩陣的自然推廣（現在流行的“使用者推薦系統”用到的Collaborative filtering的數學原理源於此）。有興趣的童鞋可以參考我個人的小結[2]。
還必須提到的是演算法問題。我個人覺得，一個好的模型，如果沒有一個快速準確的演算法作為支撐的話，它最後可能什麼也不是。看看Lasso頭幾年的冷遇 就知道了。LAR的成功除了它漂亮的幾何性質之外，還有它的快速演算法。LAR的演算法複雜度相當於最小二乘法的複雜度，這幾乎已經把Lasso問題的求解推 向極致。這一記錄在2007年被Friedman的Coordinate Descent（CD）刷新，至今沒人打破。Hastie教授趣稱這個為“FFT（Friedman + Fortran + Tricks）”。因為CD對Generalized Lasso問題並不能一網打盡，許多凸優化解法應運而生，如Gradient Projection， Proximal methods，ADMM (Alternating Direction Method of Multipliers)， (Split) Bregman methods，Nesterov’s method (一階梯度法中最優的收斂速度，Candes 的很多套裝軟體都根據這個方法設計) 等等。哪個方法更好呢？這個就像問“誰的武功天下第一”一樣。我只能回答“王重陽以後再也沒有天下第一了，東邪西毒南帝北丐，他們各有各的所長，有的功夫 是這個人擅長一些，而另外幾門功夫又是另一個人更擅長一些”。有關L1的演算法可能還會大量湧現，正如優化大師Stephen Boyd所說（2010年9月28日）：“God knows the last thing we need is another algorithm for the Lasso.”
最後我想以討論“模糊系統”和“統計學習”來結尾。這個話題非常具有爭議，我就冒天下之大不諱吧，談一談我這幾年的學習體會。記得十年前，立新老師 曾經寫過一篇文章《模糊系統：挑戰與機遇並存——十年研究之感悟》，發表在2001年《自動化學報》上。我2005年看到的時候，敬仰之情，猶如滔滔江 水。立新老師曾經有這麼一句話：“If a method works well in practice, there must be some theoretical reasons for its success.”2005年的時候，我開始問自己什麼使模糊系統的成功？立新老師認為有如下幾個原因：1.模糊系統的通用逼近性能（Universal Approximator）；2.模糊系統快速的構造演算法，比如他自己的WM方法，Roger Jang的ANFIS等等；3.結果的可解釋性；4.利用各種不同形式的資訊。
下面我談談自己的看法，第一，通用逼近性能當然是一個好的性質，它表明模糊系統是很flexible的，但flexible的結構太多了，比如神經 網路。問題往往不在flexible，而在太flexible導致overfitting。就如同SVM一樣，沒有L2-norm regularization，實踐中的性能就會變得很差。第二，快速演算法，這是好的方法必備的，SVM，Boosting，Random Forest的演算法都很快，而且可以直接用到高維，這一點上，我沒有看到模糊系統的優勢。第三，可解釋性：模糊系統對低維資料（比如2-4維）的確具有好 的解釋性（因為IF-THEN規則的前提和結論都很簡潔），但這個時候其它工具也可以做得到，比如Gradient Boosting和Random Forests（很多例子可以在ESL這本書裡看到）。第四，充分的利用各種資訊。立新老師指的是IF-THEN規則可以比較自由靈活的加入先驗知識，並 在他的書裡面詳細給出實例。遺憾的是，這些例子都在處理低維空間的問題。如何用IF-THEN規則解構高維空間呢？我個人看不到它們特殊的優勢。然而，在 統計學習裡，利用不同的先驗知識處理高維空間的例子比比皆是，比如Sparsity，group-structure，smoothness等等。現在舉 一個Gradient Boosting  machine（GBM，也叫MART）的例子來說明我的觀點。根據Lasso和Boosting的關係，可以知道GBM已經用到了Sparsity的性 質（L1-norm regularization）。GBM有兩個參數可以反映我們的先驗知識。第一個參數是深度（depth），控制每棵決策樹的深度 。如果深度為1，即樹樁結構（Stump），表明GBM將採用加法模型（Generalized Additive model），即不考慮變數之間的互動式作用（Interaction）；如果深度大於1，則考慮互動式作用。因為互動式作用在非線性建模中比較重要，如 異或（XOR）問題，沒有考慮互動式作用將失敗得很慘，所以這個參數設置反映了對非線性建模的先驗。第二個參數是Shrinkage的大小。假設深度選取 是合理的，在雜訊比較小的時候，沒有Shrinkage會比較好；雜訊比較大的時候，有Shrinkage會好一些。實踐中，使用GBM對高維資料分析， 試錯法（Trial and error）很容易使用，因為就這兩個參數（通常depth=3～4；實際資料的雜訊往往比較大，推薦設置Shrinkage=0.01）。模型構建好之 後，GBM會告訴你哪些變數是重要的，變數之間的互動式作用如何等等，這樣模型的結果也是比較容易理解。Random Forests也有相似的功能。好了，最後借Hastie教授的一幅圖來總結一下，無疑，GBM（MART）是他們的最愛，也是我的最愛。